Правило Кейнса-Рамсея



Правило Кейнса-Рэмси (Keynes-Ramsey rule) в динамической макроэкономике относится к темпам роста потребления в результате максимизации межвременной полезности. Правило является частью неоклассической теории роста и описывает взаимосвязь между темпом роста потребления, процентной ставкой, предпочтительным временем и эластичностью межвременного замещения.

Правило Кейнса-Рэмси, помимо прочего, является результатом модели Рэмси и должно дать нормативный, то есть с точки зрения социального планировщика, ответ на вопрос об оптимальных сбережениях. Наиболее сложные математические методы из вариационного исчисления необходимы для выведения правила.

Разграничение

Уравнение Эйлера или уравнение Эйлера-Лагранжа используется в вариационном исчислении для понимания условий оптимальности задачи динамической оптимизации. Следовательно, уравнение Эйлера имеет общий смысл даже вне экономики. Тем не менее, некоторые авторы здесь не делают различий и используют термины Кейнса-Рэмси и уравнение Эйлера как синонимы. Другие описывают это как специальный представитель или экономическую интерпретацию уравнения Эйлера. В этом контексте мы также говорим об уравнении потребления Эйлера, которое описывает оптимальное межвременное распределение потребления домохозяйства, максимизирующего полезность.

Общее положение

Правило Кейнса-Рамси выглядит следующим образом:

g_C=\frac{\dot c}c=\frac1\sigma(r-\rho).

Основные положения:

  • потребление возрастает g_C>0, если процентная ставка (r) больше, чем ставка по времени (\rho).
  • меньшая готовность к взаимозаменяемому замещению (больший \sigma) означает менее сильную реакцию в отношении разницы между интересом и временным предпочтением.

Коэффициент роста g_C является положительным, если процентная ставка больше, чем ставка по времени r>\rho. В таком случае домохозяйство сохранит или откажется от потребления, потому что отдача от его потребления возмещает ему потерю прямых выгод. Коэффициент временных предпочтений предназначен для описания склонности домохозяйства к тому, насколько более или менее оно оценивает потребление в более поздний период (в будущем), чем сегодняшнее потребление. Здесь обычно предполагается положительный коэффициент предпочтения по времени. Параметр упругости \sigma описывает кривизну предполагаемой функции полезности. Чем больше функция выгоды изогнута тем больше домохозяйства предпочитают равномерное распределение потребления во времени. Если это значение очень высокое, более низкая скорость роста будет оптимальной.

Предполагается, что \sigma положительно. Эмпирические исследования Роберта Э. Холла, однако, иногда показали отрицательные значения эластичности. Параметр \sigma выводится из специальной функции полезности. Эластичность межвременного замещения описывается обратной величиной r>\rho.

Формальное представление

Правило является результатом проблемы динамической оптимизации. В зависимости от формы целевой функции (например, функция полезности) и ограничений (например, бюджет домохозяйства) или предполагаемой технологии производства (например, функция Кобба-Дугласа), она выглядит несколько иначе.

Непрерывный бесконечный временной горизонт

Пример: благонамеренный диктатор (социальный планировщик) управлял страной с бесконечно долгоживущими домохозяйствами. Он хочет максимизировать следующую функцию полезности:

max\int_0^\infty\frac{C^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}e^{-pt}dt.

Здесь C обозначает потребление, \sigma — постоянную эластичность, а \rho>0 - положительную норму предпочтения по времени. Он должен учитывать бюджет и технологию производства:

Y(t)=I(t)+C(t),\;y^\ast=T^\frac1{1-\alpha}{(\frac s{\delta+n})}^\frac\alpha{1-\alpha}

Кроме того, уравнение накопления капитала применяется:

\dot K(t)=I(t)-\delta K(t).

Здесь \delta обозначает норму амортизации (которая не должна предполагаться). Результат оптимизации будет выглядеть следующим образом (в расчете на душу населения):

\frac{\dot c}c=\frac1\sigma\left[\alpha\frac yk-\rho-\delta\right].

Здесь \alpha\frac yk является синонимом предельного продукта капитала предполагаемой производственной функции. Для того чтобы этот темп роста был положительным, этот предельный продукт должен быть больше, чем норма временного предпочтения и норма амортизации вместе взятые.

Окончательный временной горизонт

Пример: домохозяйство хотело бы установить оптимальный план потребления в каждом периоде t на основе своего дохода y_t и соответствующей процентной ставки r. Задача оптимизации заключается в следующем:

  • max\sum_{t=0}^T\beta^tu(c_t) при ограничении a_t+y_t=c_t+\frac{a_{t+1}}{1+r}\;\forall t=1,...,T

Результат показывает:

u'(c_t)=\beta\cdot u'(c_{t+1})\cdot(1+r).

Это описывает основную характеристику оптимального пути потребления во времени (это необходимое условие). Текущая предельная полезность u'(c_t) соответствует дисконтированной предельной полезности последующего периода u'(c_{t+1}) в сочетании с ожидаемой предельной доходностью сбережений (1+r).

Эта форма правила иногда упоминается в экономике как уравнение Эйлера.

История

Рэмси разработал правило в 1928 году в своем эссе «Математическая теория сбережений». Это ответ на вопрос, сколько нация должна сэкономить, и это:

«Норма сбережений, умноженная на предельную полезность денег, всегда должна быть равна сумме, на которую общая чистая норма использования полезности не соответствует максимально возможной норме использования».

- Фрэнк Рэмси, 1928.

Правило Кейнса-Рэмси названо в честь британского математика Фрэнка Племптона Рэмси и британского экономиста Джона Мейнарда Кейнса. Основу правила Рэмси создал в 1928 году в своей статье, но Кейнс указал на нынешнюю интерпретацию его результатов, после чего правило было названо в честь обоих.

«Статья Рэмси 1928 года, я думаю, является одним из наиболее значительных вкладов в математическую экономику, когда-либо сделанных, как с точки зрения внутренней важности и сложности ее предмета, силы и элегантности используемых технических методов, так и ясной чистоты освещения с которой читатель чувствует ум писателя, чтобы поиграть на эту тему. Статью ужасно трудно читать, но ее не так просто оценить».

- Джон Мейнард Кейнс, "Ф.П. Рэмси", экономический журнал, 1930.



Поделиться

Добавить в закладки
Добавить комментарии
Поиск по сайту
Навигация
Новые публикации
Статистика
    Top.Mail.Ru
Другие понятия
Наши партнеры